Análisis

abril 22, 2019

Análisis

Las guías de onda electromagnéticas se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.

Figura 1: Ecuaciones de Maxwell
(fuente: https://www.taringa.net/+ciencia_educacion/ecuaciones-de-maxwell_12pw3z)

Estas ecuaciones tienen soluciones múltiples, o modos, que son las autofunciones del sistema de ecuaciones. Cada modo es caracterizado por un autovalor, que corresponde a la velocidad de propagación axial de la onda en la guía.

Los modos de propagación dependen de la longitud de onda, de la polarización y de las dimensiones de la guía. El modo longitudinal de una guía de onda es un tipo particular de onda estacionaria formado por ondas confinadas en la cavidad. Los modos transversales se clasifican en tipos distintos:

Modo Transversal Eléctrico (TE): la componente del campo eléctrico en la dirección de propagación en nula [Ez = 0].
Modo Transversal Magnético (TM): la componente del campo magnético en la dirección de propagación es nula [Hz = 0]
Modo Transversal Electromagnético (TEM): la componente tanto del campo eléctrico (E) como del magnético (M) en la dirección de propagación es nula [Ez = Hz = 0].
Modo híbrido: son los que sí tienen componente en la dirección de propagación tanto en el campo eléctrico como en el magnético.

MODOS TEM

Las ondas TEM sólo pueden ser guiadas por dos o más conductores, ya que la energía se propaga por el dieléctrico.

La constante de propagación en general, es igual a la contante de atenuación más/menos la constante de fase, basado en la teoría de ondas.

La propagación de modos TEM es técnicamente posible para cualquier frecuencia distinta a cero.

Figura 2: Modos TEM (Resumen)
(fuente: https://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_MTG/Presentacion-Guias-de-Onda.pdf)

MODOS TM

Todos los componentes de los campos (E,H) pueden hallarse a través de la componente Ez, lo cual implica que Et es perpendicular al contorno.

Las líneas de campo magnético son tangente a la superficie conductora. Lo cual implica Ez = 0 en el contorno.

MODOS TE

Todas las componentes de los campos puedes hallarse a partir de Hz.

Et es perpendicular al contorno, mientras que Ht es tangente al contorno, por lo que las dos componentes son perpendiculares entre sí.

Las líneas de campo magnético son tangentes a la línea conductora (al contorno).

Figura 3: Modos TE y TM (Resumen)
(fuente: https://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_MTG/Presentacion-Guias-de-Onda.pdf)

PROPIEDADES DE CORTE DE LOS MODOS TE Y TM

Para saber hasta qué y a partir de qué frecuencia se propaga un modo u otro, es importante el estudio de ambos modos y de las impedancias (Z) de las guía de onda es cada modo.

Decir que Ztm y Zte pertenecen al cuerpo de los números reales (Re) para frecuencias por encima de la frecuencia de corte (f>fc), y al cuerpo de números imaginarios (Im) puros para frecuencias por debajo de la frecuencia de corte (f<fc). Esto implica que no puede haber transmisión de potencia ya que una potencia reactiva refleja toda la potencia que llega (la atenuación de ondas por debajo del corte es una atenuación reactiva, no disipativa, ya que por tratar la guía ideal no existen pérdidas óhmicas en el sistema).

En guías de onda rectangulares el modo fundamental es el TE_1,0 y en guías de onda circulares el fundamental es el TE_1,1.

Figura 4: Modos de la guía rectangular
(fuente: https://ipfs.io/ipfs/QmXoypizjW3WknFiJnKLwHCnL72vedxjQkDDP1mXWo6uco/wiki/Transverse_mode.html)

GUÍA RECTANGULAR

Normalmente interesa que la energía electromagnética se propague en la configuración de un solo modo, porque la excitación y la recepción de la energía en las guías suele hacerse con sondas que responden a una determinada configuración de los campos.

Podría ocurrir entonces que si la energía se reparte por igual entre dos modos y la recepción está prevista para solo uno de ellos, se perdería la mitad de la energía.

Los elementos circuitales en la guía de onda tienen propiedades que dependen del modo (un determinado obstáculo que equivalga a una capacidad en un modo, puede resultar en una inductancia para otro modo). También la colocación de diodos en las guías se hace teniendo en cuenta la polarización del campo eléctrico (E), por lo que la excitación de un diodo mezclador puede resultar óptima para un modo y pésima para oto, lo cual implica que es aconsejable que solo haya un modo propagándose por la guía (Monomodo).

Solo pueden propagarse aquellos modos cuya frecuencia de corte sea menor que la frecuencia de onda, e interesa además que haya cierto margen de frecuencias para el cual solo se propague un solo modo.

MODO DOMINANTE TE_1,0

Para una guía normalizada (b = a/2) la atenuación debida a los conductores es baja, lo que se traduce en una ventaja.
_{La frecuencia de corte del modo superior más próximo (b/a = 1/2) es el doble de su propia frecuencia de corte, permitiendo una extensa banda de frecuencias den las que solo puede propagarse el modo}TE_1,0.
Su frecuencia de corte es independiente de una de las dimensiones (altura de la guía: b) lo cual es importante para aplicaciones que requieren guían de altura reducida.
La polarización del campo eléctrico es fija en toda la guía, polarización lineal vertical entre la cara superior e inferior.
La excitación de este modo es muy sencilla en la guía.

Figura 5: Guía de onda rectangular
(fuente: https://www.microwave-link.com/)

EJEMPLOS GRÁFICOS DE LOS MODOS

Figura 6: Representación 2D de los distintos modos
(fuente: https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1201/1201.3202.pdf)

Figura 7: Representación 3D de los distintos modos
(fuente: https://electronics.stackexchange.com/questions/268431/what-is-the-simple-meaning-of-te10-waveguide)

GUÍA CIRCULAR

Para estudiar la guía, los cálculos se basan en las función de Bessel de primera especie y de segunda especie (función de Neumann).

Los campos dentro de la guían deben ser periódicos respecto a phi, con periodo 360º.

Comparando la carta de modos de la guía se observan dos diferencias fundamentales:

No existen apenas coincidencias de modos con la misma frecuencia de corte.
El ancho de banda en el que solo puede propagarse el modo TE_1,1 es mucho menor que la guía rectangular, lo cual implica una desventaja.

MODOS TM

Basado en las raíces de orden l de la función de Bessel de primera especia y orden n, se obtiene el término p_n,l.

El modo TMm_l donde:

m: describe el número de variaciones circunderenciales.
l: describe el número de variaciones radiales.

El valor más bajo de Pn,l es la primera raíz de la función de Bessel de primera especia y orden cero (p_1,0 = 2.405) lo cual impllica que el modo más bajo es el modo TM_1,0

MODOS TE

La diferencia entre modos TM y TE es que se utiliza la derivada de la función de Bessel de primera especie y orden n, para hayar la raíz de orden l (p'_n,l).

En este caso, el valor más bajo de la raíz es p'_1,1 = 1.841. Por tanto, es el que tiene la frecuencia de corte más baja, por lo que el modo TE_1,1 es el modo más bajo y por tanto el modo fundamental.